已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關,請選出相關係數最小的選項。
\[
\begin{aligned}
r_{xy} &= \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}} \\
&= \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}\sqrt{\sum y_i^2 - n\bar{y}^2}} \\
\\
\text{觀察條件：} &\quad
\begin{cases}
①\ x_i \text{ 各項均相同} \\
②\ \bar{y} \text{ 相同} \\
③\ \sum x_i y_i \text{ 相同}
\end{cases} \\
\\
\Rightarrow &\ \text{比較 } r_{xy} \text{ 的大小，由 } \sum y_i^2 \text{ 決定} \\
\\
\sum y_i^2 \text{ 計算：} &\quad
\begin{aligned}
&(1)\ 1^2+13^2+1^2 = 171 \\
&(2)\ 3^2+10^2+2^2 = 113 \\
&(3)\ 5^2+7^2+3^2 = 83 \\
&(4)\ 9^2+1^2+5^2 = 107 \\
&(5)\ 7^2+4^2+4^2 = 81
\end{aligned} \\
\\
\text{關係：} &\quad \sum y_i^2 \uparrow \ \Rightarrow\ |r_{xy}| \downarrow, \quad \text{且 } r_{xy} < 0 \ \Rightarrow\ r_{xy} \uparrow \\
\\
\therefore &\ r_{xy} \text{ 最小者為 } (5) \ (\sum y_i^2 \text{ 最小})
\end{aligned}
\]