考慮每個元（或稱元素）只能是0或1的2×3階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有 __________ 個。
[選填題]
答案
矩陣與其運算
107學測數學考科-F
設 \( a, b, c, d, e, x, y, z \) 皆為實數，考慮矩陣相乘：\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 5 & 7 \\ -4 & 6 & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & x & 7 \\ 0 & y & 7 \\ -11 & z & 23 \end{bmatrix}\)，則 \( y = \) __________。（化成最簡分數）
[選填題]
答案
由第三列：\( 1\cdot(-3)+2\cdot(-4)=-11 \) ✓；\( 1\cdot5+2\cdot6=17=z \)；\( 1\cdot7+2\cdot e=23 \Rightarrow e=8 \)。由第二列：\( -3c-4d=0 \)，\( 5c+6d=y \)，\( 7c+8d=7 \)。解聯立得 \( c=7 \)，\( d=-\frac{21}{4} \)，代入得 \( y=5\cdot7+6\cdot\left(-\frac{21}{4}\right)=35-\frac{126}{4}=\frac{140-126}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} \)。答案：\( \frac{7}{2} \)
108學測數學考科-A
設 \(x\)，\(y\) 為實數，且滿足 \(\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \end{bmatrix}\)，則 \(x+3y = \) __________。
[選填題]
答案
109學測數學考科-04
令 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = I + A + A^{-1}\)，試選出代表 \(BA\) 的選項。
(1) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}\)
答案
110學測數學考科_01
設 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)。若 \( A^4 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，則 \( a + b + c + d \) 之值為下列哪一個選項？
(1) 158
(2) 162
(3) 166
(4) 170
(5) 174
答案
計算 \( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \)，再計算 \( A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 80 \\ 0 & 81 \end{bmatrix} \)，得 \( a=1, b=80, c=0, d=81 \)，和為 162。(2)
112學測數學A考科-11
坐標平面上，設 A、B 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 90° 的旋轉矩陣。設 C、D 分別表示以直線 \(x=y\)、\(x=-y\) 為繞射軸的繞射矩陣。試選出正確的選項。
(1) A、C 將點 (1,0) 映射到同一點
(2) \(A=-B\)
(3) \(C=D^{-1}\)
(4) \(AB=CD\)
(5) \(AC=BD\)
答案
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \), \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \), \( D = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)
(1)×：\( A(1,0) = (0,-1) \), \( C(1,0) = (0,1) \)
(2)○：\( A = -B \)
(3)×：\( CD = -I \Rightarrow C = -D^{-1} \)
(4)×：\( AB = I \), \( CD = -I \)
(5)○：\( AC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = BD \)
故選(2)(5)
114學測數學A考科_19
18-20 題為題組
19. 試求點 \(Q\) 的坐標，以及 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與向量 \((1, 0)\) 的夾角。(非選擇題，6分)
答案
由18題得 \(\theta_1=45^\circ\)，\(A^3\) 為旋轉 \(135^\circ\) 矩陣，將 \(P(1,1)\) 變換得 \(Q(-\sqrt{2},0)\)。
由 \(B^3\) 得 \(\theta_2=30^\circ\)，\(B^4\) 為旋轉 \(120^\circ\) 矩陣，將 \(Q\) 變換得 \(R(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})\)。
計算 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與 \((1,0)\) 夾角：\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，\(\theta=60^\circ\)。
113學測數學A考科_12
在坐標平面上給定三點 \(A(1,0), B(0,1), C(-1,0)\)，令 \(\Gamma\) 為 \(\triangle ABC\) 經矩陣 \(T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\) 變換後的圖形，其中 \(a\) 為實數。試選出正確的選項。
(1) 若 \(a=0\)，則 \(\Gamma\) 為等腰直角三角形
(2) \(\triangle ABC\) 的邊上至少有兩點經 \(T\) 變換後坐標不變
(3) \(\Gamma\) 必有部分落在第四象限
(4) 平面上找到一個圖形 \(\Omega\) 經 \(T\) 變換後為 \(\triangle ABC\)
(5) \(\Gamma\) 的面積為定值
答案
107指考數學乙試題-稿A
地方上張安與李平兩位角逐鄉長，結果張安得票率55%，李平得票率45%，由張安勝選。民調機構預測，如果下任鄉長仍由張安與李平兩人競選，選民相同且每一張票都是有效票，則本屆支持張安的選民將有25%倒向支持李平，而本屆支持李平的選民將有10%倒向支持張安。若描述上述現象的轉移矩陣為 \( A \)，則行列式 \( detA \) 的絕對值為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）
[選填題]
答案
105指考數學乙試題-稿B
設 \( x, c \) 為實數，方陣 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \)、\( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} \)。已知 \( A \) 的反方陣恰好是 \( B \) 的 \( c \) 倍（其中 \( c \neq 0 \)），則數對 \((x, c) = (\underline{\qquad},\underline{\qquad})\)。（請化為最簡分數）
[選填題]