〈空間與經緯度概念〉彙整頁面

106學測數學考科–10

坐標空間中有三直線 $ L_1 : \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1} $，$ L_2 : \begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases} $，$ L_3 : \begin{cases} x=-t \\ y=-2-t \\ z=4+4t \end{cases} $，t為實數。
請選出正確的選項。
(1) $ L_1$與$ L_2$的方向向量互相垂直
(2) $ L_1$與$ L_3$的方向向量互相垂直
(3)有一個平面同時包含$ L_1$與$ L_2$
(4)有一個平面同時包含$ L_1$與$ L_3$
(5)有一個平面同時包含$ L_2$與$ L_3$。

答案

$L_1$方向向量$\vec{v_1}=(2,2,1)$，$L_2$方向向量$\vec{v_2}=(2,2,1)$（與$L_1$平行），$L_3$方向向量$\vec{v_3}=(-1,-1,4)$。
(1) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 9 \neq 0$，不垂直。
(2) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = 0$，垂直。
(3) $L_1$與$L_2$平行，可決定一平面。
(4) $L_1$與$L_3$交於一點，可決定一平面。
(5) $L_2$與$L_3$歪斜，無共同平面。
故選(2)(3)(4)。答案：(2)(3)(4) 報錯
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105學測數學考科–05

坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$沿著方向$a=(1,2,2)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$b=(-2,2,-1)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x=2上？
(1)$1$秒 (2)$2$秒 (3)$3$秒 (4)$4$秒 (5)永遠不會到達。

答案

第一段：參數式 $ (1+t, 1+2t, 1+2t) $，代入平面 $ x-y+3z=28 $ 得 $ t=5 $，得點 $ Q(6,11,11) $。第二段：參數式 $ (6-2s, 11+2s, 11-s) $，代入 $ x=2 $ 得 $ s=2 $。因速率相同，時間比等於距離比，再經2秒。答案：(2) 報錯
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105學測數學考科–09

下列各直線中，請選出和z軸互為歪斜線的選項。
(1) $ L_1 : \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} $ (2) $ L_2 : \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} $ (3) $ L_3 : \begin{cases} z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases} $ (4) $ L_4 : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} $ (5) $ L_5 : \begin{cases} y = 1 \\ z = 1 \end{cases} $。

答案

z軸：$ (0,0,t) $。
(1) $ L_1 $ 為y軸，與z軸交於原點。
(2) $ L_2 $ 與z軸交於(0,0,1)。
(3) $ L_3 $ 在平面z=0上，與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。
(4) $ L_4 $ 與z軸平行。
(5) $ L_5 $ 與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。故選(3)(5)。答案：(3)(5) 報錯
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105學測數學考科–G

如右圖所示，$ABCD – EFGH$ 為一長方體，若平面 $BDG$ 上一點 $P$ 滿足 $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AD} + a \overrightarrow{AE}$，則實數 $a = $ __________。（化成最簡分數）

答案

答案：$ \frac{4}{3} $ 報錯
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107學測數學考科-11

坐標空間中，設直線 $ L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z}{-1} $，平面 $ E_1: 2x-3y-z=0 $，平面 $ E_2: x+y-z=0 $。試選出正確的選項：
(1)點 (3,0,-1) 在直線 $ L $ 上
(2)點 (1,2,3) 在平面 $ E_1 $ 上
(3)直線 $ L $ 與平面 $ E_2 $ 垂直
(4)直線 $ L $ 在平面 $ E_2 $ 上
(5)平面 $ E_1 $ 與 $ E_2 $ 交於一直線。

答案

(1) 代入 L：$ \frac{3-1}{2}=1 $，$ \frac{0-2}{-3}=\frac{2}{3} $，不等 ✗。
(2) 代入 E1：$ 2-6-3=-7 \neq 0 $ ✗。
(3) L 方向向量 $ \vec{v}=(2,3,-1) $，E2 法向量 $ \vec{n}_2=(1,1,-1) $，$ \vec{v} \cdot \vec{n}_2 = 2+3+1=6 \neq 0 $ ✗。
(4) 參數式 $ (1+2t, 2+3t, -t) $ 代入 E2：$ (1+2t)+(2+3t)-(-t)=3+6t=0 $ 無解，故 L 與 E2 平行 ✗。
(5) E1 與 E2 法向量不平行，故交於一直線 ✓。
故選(5)。答案：(5) 報錯
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108學測數學考科-08

在數線上，甲從點-8開始做等速運動，同時乙也從點10開始做等速運動，乙移動的速率是甲的$a$倍，且$a \gt 1$。試選出正確的選項。
(1)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們會相遇
(2)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們不會相遇
(3)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則乙先到達原點0
(4)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們之間的距離會越來越大
(5)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們在點-2相遇，則$a=2$。

答案

(1) 相向而行必相遇。
(2) 乙速快，向右會追上甲。
(3) 不一定，需計算時間。
(4) 乙速快，向右則距離增加。
(5) 甲走6單位，乙走12單位，時間相同，故$a=12/6=2$。
故選(1)(4)(5)。答案：(1)(4)(5) 報錯
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108學測數學考科-13

坐標空間中有一平面$P$過$(0,0,0)$，$(1,2,3)$及$(-1,2,3)$三點，試選出正確的選項。
(1)向量$(0,3,2)$與平面$P$垂直
(2)平面$P$與平面$y$垂直
(3)點$(0,4,6)$在平面$P$上
(4)平面$P$包含$x$軸
(5)點$(1,1,1)$到平面$P$的距離是1。

答案

求法向量：$\overset{\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\rightharpoonup}{OB} = (1,2,3) \times (-1,2,3) = (0,-6,4)$，可取法向量$\vec{n}=(0,3,-2)$。平面方程式：$3y-2z=0$。
(1) $(0,3,2) \cdot (0,3,-2) = 6-4=2 \neq 0$，不垂直。
(2) $y$平面法向量$(0,1,0)$，與$\vec{n}$內積為3≠0，不垂直。
(3) 代入得$3(4)-2(6)=12-12=0$，在平面上。
(4) $x$軸上點滿足$y=0,z=0$，代入方程式成立，故包含x軸。
(5) 距離$d=\frac{|3(1)-2(1)|}{\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}} \neq 1$。
故選(3)(4)。答案：(3)(4) 報錯
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109學測數學考科-E

空間中有三點 $ A(1,7,2) $、$ B(2,-6,3) $、$ C(0,-4,1) $，若直線 L 通過 A 點並與直線 BC 相交且垂直，則 L 和直線 BC 的交點坐標為 __________。

答案

直線BC參數式：$(2-t, -6+t, 3-t)$。設交點P為此形式，則 $\overset{\rightharpoonup}{AP} = (1-t, -13+t, 1-t)$。由 $\overset{\rightharpoonup}{AP} \cdot \overset{\rightharpoonup}{BC} = 0$ 得 $t=5$，交點坐標為 $(-3, -1, -2)$。答案：(-3,-1,-2) 報錯
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110學測數學考科_B

坐標空間中有兩條直線 $ L_1 $、$ L_2 $ 與一平面 $ E $，其中直線 $ L_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} $，而 $ L_2 $ 的參數式為 $ \begin{cases} x=1 \\ y=1+2t \\ z=1+3t \end{cases} $ (t為實數)。若 $ L_1 $ 落在 $ E $ 上，且 $ L_2 $ 與 $ E $ 不相交，則 $ E $ 的方程式為 $ x – \underline{\qquad\qquad} y + \underline{\qquad\qquad} z = \underline{\qquad\qquad} $。

答案

L₁ 方向向量 (2,-3,-5)，L₂ 方向向量 (0,2,3)。E 的法向量 n 同時垂直 L₁ 與 L₂，故 n // (2,-3,-5)×(0,2,3) = (1,-6,4)。令 E: x-6y+4z=d。L₁ 過 (0,0,0) 代入得 d=0。故 E: x-6y+4z=0。x - 6y + 4z = 0 報錯
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113學測數學A考科_18

18-20 題為題組
坐標空間中，設 $ O $ 為原點，$ E $ 為平面 $ x-z=4 $。試回答下列問題。
18. 若原點 $ O $ 在平面 $ E $ 上的投影點為 $ Q $，且向量 $ \overset{\rightharpoonup}{OQ} $ 與向量 $ (1,0,0) $ 的夾角為 $ \alpha $，則 $ \cos \alpha $ 之值為下列哪一選項？
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $-\frac{1}{2}$ (3) $\frac{1}{2}$ (4) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (5) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 $ P(a, b, c) $ 滿足向量 $ \overset{\rightharpoonup}{OP} $ 與向量 $(1, 0, 0)$ 的夾角 $\theta \leq \frac{\pi}{6}$。試說明實數 $ a, b, c $ 滿足不等式 $ a^2 \geq 3(b^2 + c^2) $。

18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 $ P $ 在平面 $ E $ 上且 $ b = 0 $。試求 $ c $ 的最大可能範圍，並求線段 $ \overset{\rightharpoonup}{OP} $ 的最小可能長度。

答案

18. 平面法向量為 $(1,0,-1)$，投影點 $Q$ 滿足 $\overset{\rightharpoonup}{OQ} \parallel (1,0,-1)$，代入平面得 $Q(2,0,-2)$，則 $\cos \alpha = \frac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{|(2,0,-2)|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，選(4)

由 $\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，平方得 $\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{4}$，整理得 $a^2 \geq 3(b^2+c^2)$。

由 $a-c=4$ 與 $a^2 \geq 3c^2$ 得 $(c+4)^2 \geq 3c^2 \Rightarrow c^2 - 4c - 8 \leq 0$，解得 $2-2\sqrt{3} \leq c \leq 2+2\sqrt{3}$。
又 $|\overset{\rightharpoonup}{OP}|^2 = 2c^2+8c+16 = 2(c+2)^2+8$，當 $c=2-2\sqrt{3}$ 時有最小值 $4\sqrt{3}-4$。報錯
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