立體幾何

各頂點到 \( O \) 的距離
- \( O = (0,0,0) \)
- \( A = (1,0,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( B = (1,1,0) \), 距離 \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( C = (0,1,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( D = (0,1,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( E = (0,0,1) \), 距離 \( 1 \)
- \( F = (1,0,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( G = (1,1,1) \), 距離 \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)

顯然 \( G \) 最遠。
最遠是 \( G \)，所以選 (5)。
**最終答案：**
\[
\boxed{5}
\]

1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)=2\pi(\frac{4}{5}a^2+1)\)， \(-\frac{1}{2}\le a\le1\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，畫圖得 \(a=1\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{18\pi}{5}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{18\pi}{5}\)

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非選擇題評分原則

首先求正八邊形的面積。
把正八邊形分割成8個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為\(\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}\)，腰長為\(\sqrt{1 - h^{2}}\)（由\(\vert\overrightarrow{OP_j}\vert = 1\)，利用勾股定理得到圓的半徑）。
等腰三角形的面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}r^2\sin\theta\)（\(r\)為腰長，\(\theta\)為頂角），所以每個等腰三角形面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}(\sqrt{1 - h^{2}})^2\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}\)。
則正八邊形的面積\(S = 8\times\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}=2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
已知角錐體積\(V=\frac{1}{3}\)底面積×高，此正八角錐的高為\(h\)，底面積為正八邊形面積\(S = 2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
所以\(V(h)=\frac{1}{3}\times2\sqrt{2}(1 - h^{2})h=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)。

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(1) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \)，得 \( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \)，即：
\[
|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = |\vec{c}| \implies 4 \times 4 \times \sin\theta = 4 \implies \sin\theta = \frac{1}{4}
\]
故 \( \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \)。

(2) ○：\( \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} \) 張出的平行六面體體積為：
\[
|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{c} \cdot \vec{c}| = |\vec{c}|^2 = 4^2 = 16
\]

(3) ○：由 \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \)，知 \( \vec{c} \perp \vec{a} \) 且 \( \vec{c} \perp \vec{b} \)；
由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，知 \( \vec{d} \perp \vec{a} \) 且 \( \vec{d} \perp \vec{c} \)；
故 \( \vec{a}、\vec{c}、\vec{d} \) 兩兩互相垂直。

(4) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，得 \( |\vec{a} \times \vec{c}| = |\vec{d}| \)，又 \( \vec{a} \perp \vec{c} \)（\( \theta = \frac{\pi}{2} \)），故：
\[
|\vec{a}||\vec{c}|\sin\frac{\pi}{2} = |\vec{d}| \implies 4 \times 4 \times 1 = |\vec{d}| \implies |\vec{d}| = 16
\]

(5) ×：由 \( \vec{a} \times \vec{c} = \vec{d} \)，得 \( |\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})| = |\vec{b} \cdot \vec{d}| \)，即：
\[
|\vec{b} \cdot \vec{d}| = 16 \implies |\vec{b}||\vec{d}|\cos\alpha = 16 \implies 4 \times 16 \times |\cos\alpha| = 16 \implies |\cos\alpha| = \frac{1}{4}
\]
故 \( \cos\alpha \neq \cos\theta \)。

故選 \( \boxed{(2)(3)} \)。

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設正立方體的稜長為a。
以A為原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系。
則A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0,a,0)，E(0,0,a)，G(a,a,a)。
可求得平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}\)：
\(\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)\)，\(\overrightarrow{BE}=(-a,0,a)\)。
設\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，由\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BE}=0\)，可得\(\begin{cases}-ax + ay = 0\\-ax + az = 0\end{cases}\)，令x = 1，解得y = 1，z = 1，所以\(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\)。
\(\overrightarrow{AG}=(a,a,a)\)，\(\vert\overrightarrow{AG}\vert=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a\)。
A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}\vert}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\)，\(\overrightarrow{AB}=(a,0,0)\)，則\(d=\frac{\vert a\times1 + 0\times1 + 0\times1\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}\)。
所以A點到平面BDE的距離\(d=\frac{1}{3}\vert\overrightarrow{AG}\vert\)，即A點到平面BDE的距離是對角線AG長度的三分之一。

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