坐標空間中有一個正立方體ABCDEFGH ，試證明向量\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE垂直。(2分)
[非選擇題]由(1)已求得平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\)，且\(\overrightarrow{AG}=(a,a,a)\)。
可發現\(\overrightarrow{AG}=a(1,1,1)=a\overrightarrow{n}\)，即\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}\)平行。
根據向量與平面垂直的判定，如果一個向量與一個平面的法向量平行，那麼這個向量與該平面垂直。
所以向量\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE垂直。
坐標空間中有一個正立方體ABCDEFGH ，承(3)，試求出G點的坐標。(4分)
[非選擇題]已知 \( |\overrightarrow{AG}| = 3 \times d(A, \text{平面}BDE) = 9 \)，且 \( \overrightarrow{AG} \parallel \) 平面 \( BDE \) 的法向量 \( \vec{n} = (2,2,-1) \)。
設 \( A(2,2,6) \)，\( G(x,y,z) \)，由 \( \overrightarrow{AG} \parallel (2,2,-1) \)，得參數式：
\[
\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{-1} = t \implies x=2t+2,\ y=2t+2,\ z=-t+6
\]
由 \( |\overrightarrow{AG}| = 9 \)，得：
\[
\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2} = 9 \implies \sqrt{9t^2} = 9 \implies |t|=3
\]
因 \( A、G \) 在平面 \( BDE \) 異側，取 \( t=-3 \)，故 \( G \) 的坐標為：
\[
x=2(-3)+2=-4,\ y=2(-3)+2=-4,\ z=-(-3)+6=9
\]
即 \( G \) 坐標為 \( \boxed{(-4,-4,9)} \)。
二、考慮三次多項式 \( f(x) = -x^3 – 3x^2 + 3 \)。試回答下列問題。
(1) 在坐標平面上，試描繪 \( y = f(x) \) 的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。（4分）
(2) 令 \( f(x) = 0 \) 的實根為 \( a_1, a_2, a_3 \)，其中 \( a_1 < a_2 < a_3 \)，試求 \( a_1, a_2, a_3 \) 分別在哪兩個相鄰整數之間。（2分）
(3) 承(2)，試說明 \( f(x) = a_1 \)、\( f(x) = a_2 \)、\( f(x) = a_3 \) 各有幾個相異實根。（4分）
(4) 試求 \( f(f(x)) = 0 \) 有幾個相異實根。
（註：\( f(f(x)) = -(f(x))^3 – 3(f(x))^2 + 3 \)）（2分）
已知 \( f(x) = -x^3 - 3x^2 + 3 \)，先求導數：
\[
f'(x) = -3x^2 - 6x, \quad f''(x) = -6x - 6
\]
(1) **極值與圖形**
令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( -3x(x+2) = 0 \implies x=0 \) 或 \( x=-2 \)：
- \( x=0 \) 時，\( f(0)=3 \)，且 \( f''(0)=-6 < 0 \)，故 \( (0, 3) \) 為**極大值點**；
- \( x=-2 \) 時，\( f(-2)=-1 \)，且 \( f''(-2)=6 > 0 \)，故 \( (-2, -1) \) 為**極小值點**。
(2) **實根的區間**
由勘根定理，計算整數點的函數值：
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-3 & 3 \\
-2 & -1 \\
-1 & 1 \\
0 & 3 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\]
因 \( f(-3)f(-2) < 0 \)、\( f(-2)f(-1) < 0 \)、\( f(0)f(1) < 0 \)，故：
- \( a_1 \in (-3, -2) \)，\( a_2 \in (-2, -1) \)，\( a_3 \in (0, 1) \)。
(3) **\( f(x) = a_i \) 的實根個數**
由 \( f(x) \) 的圖形（極大值3、極小值-1）：
- \( a_1 \in (-3, -2) < -1 \)，故直線 \( y=a_1 \) 與 \( f(x) \) 僅交於1點，即 \( f(x)=a_1 \) 有**1個實根**；
- \( a_2 \in (-2, -1) < -1 \)，同理 \( f(x)=a_2 \) 有**1個實根**；
- \( a_3 \in (0, 1) \in (-1, 3) \)，直線 \( y=a_3 \) 與 \( f(x) \) 交於3點，即 \( f(x)=a_3 \) 有**3個實根**。
(4) **\( f(f(x)) = 0 \) 的實根個數**
\( f(f(x))=0 \) 等價於 \( f(x)=a_1 \) 或 \( f(x)=a_2 \) 或 \( f(x)=a_3 \)，結合(3)的結果：
\[
\text{實根總數} = 1 + 1 + 3 = 5
\]
故 \( f(f(x))=0 \) 有**5個相異實根**。
(3) 若知 \( f(-1) = 0 \)，試求積分 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx \) 之值。（4分）
坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。
(1)試求四面體\(ABCH\)的體積。（4分）（註：四面體體積為三分之一的底面積乘以高）
(2)坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。令點\(H’\)為點\(H\)相對於平面\(E\)的對稱點，試求\(H\)的坐標。（4分）
(3)坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\) 。試判斷點\(H\)在平面\(E\)的投影點是否位在\(\triangle ABC\)的內部？並說明理由。(4分)(註：三角形的內部不含三角形的三邊)
設\(\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)，如圖所示。
已知\(\overrightarrow{AB} = (1, 0, -1)\)，\(\overrightarrow{AC} = (0, 2, 1)\)，
因此\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2, -1, 2)\)，且\(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3\)。
(1) 四面體\(ABCH\)的體積計算
因為\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)垂直於平面\(E\)，故四面體\(ABCH\)以\(\triangle ABC\)為底面的高為\(|3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|\)。
又\(\triangle ABC\)的面積為：
\[
\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}
\]
且高滿足：
\[
|3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})| = 3 \times |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 9
\]
因此四面體\(ABCH\)的體積為：
\[
\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times 9 = \frac{9}{2}
\]
(2) \(H'\)的坐標求解
設\(H'\)的坐標為\((x, y, z)\)，由\(\overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QH'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} - 3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})\)，
代入向量坐標計算：
\[
\begin{align*}
(x, y + 1, z + 1) &= \frac{2}{3}(1, 0, -1) - \frac{1}{3}(0, 2, 1) - 3(2, -1, 2) \\
&= \left( \frac{2}{3} - 0 - 6,\ 0 - \frac{2}{3} + 3,\ -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 6 \right) \\
&= \left( -\frac{16}{3},\ \frac{7}{3},\ -7 \right)
\end{align*}
\]
解得\(x = -\frac{16}{3}\)，\(y = \frac{4}{3}\)，\(z = -8\)，故\(H'\)的坐標為\(\left( -\frac{16}{3},\ \frac{4}{3},\ -8 \right)\)。
(3) \(Q\)點與平面\(E\)的關係
因為\(\overrightarrow{QH'}\)垂直於平面\(E\)，所以\(Q\)是\(H'\)在平面\(E\)的投影點。
由圖可知，\(Q\)點不在\(\triangle ABC\)的內部。
設 \(a,b,c,d,r,s,t\) 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 \(\overrightarrow{u} = (a,b,0) \cdot \overrightarrow{v} = (c,d,0)\) 及
\(\overrightarrow{w} = (r,s,t)\)
滿足內積 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)。考慮三階方陣 \(A = \begin{bmatrix}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
r & s & t
\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) 若 \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(2) 若 \(t \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(3) 若存在一個向量 \(\overrightarrow{w}\) 滿足 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) 且外積 \(\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{w} \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(4) 若對任意三個實數 \(e,f,g\)，向量 \((e,f,g)\) 都可以表示成 \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) 的線性組合，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(5) 若行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)，則 \(A\) 的行列式不等於0
坐標空間中有方向向量為 (1, -2, 2) 的直線 \(L\) 、平面 \(E_1: 2x + 3y + 6z = 10\) 與平面
\(E_2: 2x + 3y + 6z = -4\) 。則 \(L\) 被 \(E_1\) 、 \(E_2\) 所截線段的長度為 \(\frac{~~~~~}{~~~~~}\)。（化為最簡分數）
兩平面\(E_1: 2x + 3y + 6z = 10\)與\(E_2: 2x + 3y + 6z = -4\)平行，先求兩平面距離：\(d = \frac{|10 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{14}{7} = 2\)
直線方向向量\(\vec{v} = (1, -2, 2)\)，平面法向量\(\vec{n} = (2, 3, 6)\)。計算\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 8\)，\(|\vec{v}| = 3\)，\(|\vec{n}| = 7\)，得\(\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|} = \frac{8}{21}\)。
截得線段長度\(L = \frac{d}{\sin\theta} = \frac{2}{\frac{8}{21}} = \frac{21}{4}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{21}{4}}\)
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。
令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。
若 坐 標 空 間 中 第 四 個 平 面 \( E_{4}\) 與 \( E_{1}\) 、 \( E_{2}\) 、 \( E_{3}\) 圍 出 一 個 邊 長 為 \( 6\sqrt{2}\) 的 正 四 面 體,試求 出 \( E_{4}\) 的方程式（寫 成 \( x + ay + bz = c\) 的形式）。
有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。將平面\(BCFE\)置於水平桌面上，且將與\(BCFE\)平行的平面稱為水平面。利用\(\overline{AD}\)在平面\(BCFE\)的投影長為\(30\)，可得\(\tan\angle AMP = \)__________ 。
有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。令\(Q\)為\(\overline{FC}\)上一點，滿足\(\overrightarrow{AQ}\)與\(\overrightarrow{DF}\)平行。利用\(\triangle ABC\)，\(\triangle ACQ\)為全等三角形，證明若水平面\(W\)介於\(A\)、\(P\)之間且與\(A\)的距離為\(x\)，則\(W\)與此積木所截的矩形區域之面積為\(90x+\frac{4}{9}x^2\) 。
[非選擇]證明：由\(\triangle ABC\cong\triangle ACQ\)可得\(CQ = BC = 10\)。過\(A\)作\(AH\perp FC\)於\(H\)，可得\(FH = 15\) 。因為\(\triangle AFH\)與截面相似，相似比為\(\frac{15 - x}{15}\)。設截面矩形長為\(l\)，寬為\(w\)，由相似比可得\(\frac{l}{40}=\frac{15 - x}{15}\)，\(l=\frac{40(15 - x)}{15}=\frac{8(15 - x)}{3}\)；同理可得\(\frac{w}{10}=\frac{15 - x}{15}\) ，\(w=\frac{10(15 - x)}{15}=\frac{2(15 - x)}{3}\)。截面面積\(S = lw\) ，代入化簡可得\(S = 20x+\frac{4}{9}x^{2}\) 。
