數列 \( a_1, a_2, \cdots \) 中，其奇數項是一個公比為 \( \frac{1}{3} \) 的等比數列，而偶數項是一個公比為 \( \frac{1}{2} \) 的等比數列，且 \( a_1 = 3, a_2 = 2 \)。試選出正確的選項。
(1) \( a_4 \gt a_5 \gt a_6 \gt a_7 \)
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} \gt 10 \)
(3) \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \)
(4) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 \)
(5) \( \sum\limits_{n=1}^{100} a_n \gt 9 \)
針對數列\(\{a_n\}\)的性質分析如下：
(1)×
取數列項：
- 奇數項：\(a_1=3\)，\(a_3=3 \times \frac{1}{3}=1\)，\(a_5=1 \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
- 偶數項：\(a_2=2\)，\(a_4=2 \times \frac{1}{2}=1\)，\(a_6=1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
但\(a_5=\frac{1}{3} < a_6=\frac{1}{2}\)，故該描述錯誤。
(2)○
計算指定項：
\[
a_{10}=2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{8}, \quad a_{11}=3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{81}
\]
因此：
\[
\frac{a_{10}}{a_{11}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{81}} = \frac{81}{8} > 10
\]
(3)○
分奇偶項分析極限：
① 當\(n\)為奇數時，\(a_n=3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n-1}{2}} = 3^{\frac{3-n}{2}}\)，
當\(n \to \infty\)時，\(3^{\frac{3-n}{2}} \to 0\)；
② 當\(n\)為偶數時，\(a_n=2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{4-n}{2}}\)，
當\(n \to \infty\)時，\(2^{\frac{4-n}{2}} \to 0\)。
故\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。
(4)×
分奇偶項分析\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的極限：
- 當\(n\)為奇數時，\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{n-3}{2}}\)，當\(n \to \infty\)時發散；
- 當\(n\)為偶數時，\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n-2}{2}}\)，當\(n \to \infty\)時趨於0。
因\(n\)為奇、偶時極限不同，故\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)不存在。
(5)×
計算無窮級數和：
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n = \left(a_1+a_3+a_5+\dots\right) + \left(a_2+a_4+a_6+\dots\right) = \frac{3}{1-\frac{1}{3}} + \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = 4.5 + 4 = 8.5 < 9
\]
故\(\sum_{n=1}^{100} a_n < \sum_{n=1}^\infty a_n = 8.5 < 9\)，描述錯誤。
故選(2)(3)。
