絕對值

試選出在數線上與點 \(\sqrt{120}\) 的距離大於8，但與點 \(\sqrt{5}\) 的距離小於1的點。
\((1) 點\ 10^{\log 2}\)
\((2) 點\ (\frac{1}{3})^{-1}\)
\((3) 點\ 10000^0\)
\((4) 點\ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\((5) 點\ \pi – 1\)

請問滿足絕對值不等式 \(|4x – 12| \leq 2x\) 的實數 \(x\) 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6

下列各方程式中，請選出有實數解的選項：
(1) \(|x|+|x-5|=1\) (2) \(|x|+|x-5|=6\) (3) \(|x|-|x-5|=1\) (4) \(|x|-|x-5|=6\) (5) \(|x|-|x-5|=-1\)。

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，求定積分\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx\) 。(4分)

由(3)知\(f(x)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)，則\(8f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)。 令\(g(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)，對\(g(x)\)求導得\(g'(x)=3x^{2}-12x + 8\)，令\(g'(x)=0\)，解得\(x = 2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。 在區間\([2,6]\)上，\(g(x)\)在\([2,4]\)上非負，在\([4,6]\)上非正。 \(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx-\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx\)。 \(\int(x^{3}-6x^{2}+8x)dx=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+C\)。 \(\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})-(\frac{1}{4}\times2^{4}-2\times2^{3}+4\times2^{2})=16 - 0 = 16\)。 \(\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times6^{4}-2\times6^{3}+4\times6^{2})-(\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})=(324 - 432 + 144)-(16 - 32 + 16)=36 - 16 = 20\)。 所以\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=16-(-20)=36\) 。 報錯 ChatGPT    DeepSeek

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