〈行列式的性質與計算〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

105指考數學甲試題-06

坐標平面上一矩形，其頂點分別為$A(3,-2)$、$B(3,2)$、$C(-3,2)$、$D(-3,-2)$。設二階方陣$M$為在坐標平面上定義的線性變換，可將$A$映射到$B$且將$B$映射到$C$。請選出正確的選項。
(1)$M$定義的線性變換是鏡射變換
(2)$M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& – 3\\ 2&2\end{bmatrix}$
(3)$M$定義的線性變換將$C$映射到$D$且將$D$映射到$A$
(4)$M$的行列式值為$-1$
(5)$M^{3}=-M$

[多選題]

答案

設$M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，由$M\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$，$M\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}$可得：
$\begin{cases}3a-2b = 3\\3c-2d = 2\\3a + 2b=-3\\3c + 2d = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b =-\frac{3}{2}\\c=\frac{2}{3}\\d = 0\end{cases}$，所以$M=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}$。
(1) $M$不是鏡射變換，(1)錯誤。
(2) $M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& - 3\\ 2&2\end{bmatrix}$，(2)正確。
(3) $M\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}$，$M\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ - 2\end{bmatrix}$，所以$M$將$C$映射到$D$且將$D$映射到$A$，(3)正確。
(4) $M$的行列式值$\vert M\vert=0\times0-(-\frac{3}{2})\times\frac{2}{3}=1\neq - 1$，(4)錯誤。
(5) $M^{2}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$，$M^{3}=M^{2}\cdot M=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=-M$，(5)正確。
答案為(2)(3)(5)。報錯
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105指考數學甲試題–B

設$\overset{\rightharpoonup}{u}=(1,2,3)$、$\overset{\rightharpoonup}{v}=(1,0,-1)$、$\overset{\rightharpoonup}{w}=(x,y,z)$為空間中三個向量，且向量$\overset{\rightharpoonup}{w}$與向量$\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}$平行。若行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=-12$，則$\overset{\rightharpoonup}{w}=($__________，__________，__________)。

[選填題]

答案

先求$\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}=\begin{vmatrix}\overset{\rightharpoonup}{i}&\overset{\rightharpoonup}{j}&\overset{\rightharpoonup}{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{vmatrix}=\overset{\rightharpoonup}{i}(-2 - 0)-\overset{\rightharpoonup}{j}(-1 - 3)+\overset{\rightharpoonup}{k}(0 - 2)=(-2,4,-2)$。
因為$\overset{\rightharpoonup}{w}$與$\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}$平行，所以$\overset{\rightharpoonup}{w}=k(-2,4,-2)=(-2k,4k,-2k)$。
又$\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=1\times(0 + y)-2\times(z + x)+3\times(y - 0)=4y-2x - 2z=-12$，把$x=-2k$，$y = 4k$，$z=-2k$代入得$4\times4k-2\times(-2k)-2\times(-2k)=-12$，即$16k + 4k + 4k=-12$，$24k=-12$，解得$k = -\frac{1}{2}$。
所以$\overset{\rightharpoonup}{w}=(1,-2,1)$。
答案依次為$1$、$-2$、$1$。報錯
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107指考數學甲試題-01

設$A$為$3\times3$矩陣，且對任意實數$a,b,c$，$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}$均成立。試問矩陣$A^{2}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}$為何？
(1)$\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$
(2)$\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$
(3)$\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$
(4)$\begin{bmatrix}0\\1\\ -1\end{bmatrix}$
(5)$\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$

[單選題]

答案

由$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}$，令$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$，可得$\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$；令$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$，可得$\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$；令$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$，可得$\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$。
所以$A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}$。
則$A^{2}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}$。
所以$A^{2}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$。
答案為(2)。報錯
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109指考數學甲(補考)試題-04

設二階方陣$M$為在坐標平面上定義的線性變換，$O$為原點。已知$M$可將不共線的三點$O$、$A$、$B$映射至不共線的三點$O$、$A’$、$B’$，試選出正確的選項。
(1)$M$為可逆矩陣
(2)若$M$將點$C$映射至點$C’$且$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，則$\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’$
(3)$\angle AOB=\angle A’OB’$
(4)$\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}$
(5)$\triangle OA’B’$的面積$=\triangle OAB$的面積$\times|det(M)|$

[多選題]

答案

(1) 因為$M$將不共線的三點$O$、$A$、$B$映射至不共線的三點$O$、$A'$、$B'$，說明$M$是一一映射，所以$M$為可逆矩陣，(1)正确。
(2) 由線性變換的性質，若$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，則$\overrightarrow{OC}'=M\overrightarrow{OC}=M(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}) = 2M\overrightarrow{OA}+3M\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}'+3\overrightarrow{OB}'$，(2)正确。
(3) 線性變換不一定保持角度不變，所以$\angle AOB$不一定等於$\angle A'OB'$，(3)错误。
(4) 線性變換不一定保持線段比例不變，所以$\overline{OA}:\overline{OB}$不一定等於$\overline{OA'}:\overline{OB'}$，(4)错误。
(5) 根据線性變換的性質，$\triangle OA'B'$的面積$=\triangle OAB$的面積$\times|det(M)|$，(5)正确。
答案为(1)(2)(5)。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-06

設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\overrightarrow{u} = (a,b,0) \cdot \overrightarrow{v} = (c,d,0)$ 及
$\overrightarrow{w} = (r,s,t)$
滿足內積 $\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0$。考慮三階方陣 $A = \begin{bmatrix}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
r & s & t
\end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
(1) 若 $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(2) 若 $t \neq 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$

(3) 若存在一個向量 $\overrightarrow{w}$ 滿足 $\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ 且外積 $\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{w} \neq 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(4) 若對任意三個實數 $e,f,g$，向量 $(e,f,g)$ 都可以表示成 $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ 的線性組合，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(5) 若行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$，則 $A$ 的行列式不等於0

[多選]

答案

$ (\mathrm{i})|det(A)|表\vec{u},\vec{v},\vec{w}所夾之平行六面體體積\\(\mathrm{ii})det(A)=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\\(\mathrm{iii})\vec{w}同時垂直\vec{u},\vec{v}\\ (\mathrm{iv})\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0代表\vec{u}//\vec{v}。答案為(1)(4)(5)。 $ 報錯
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111分科數學甲試題-02

設$c$為實數使得三元一次方程組$\begin{cases}x – y + z = 0\\2x + cy + 3z = 1\\3x – 3y + cz = 0\end{cases}$無解。試選出$c$之值。

(1)$-3$(2)$-2$(3)$0$(4)$2$(5)$3$

[單選]

答案

對於三元一次方程組$\begin{cases}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z = D_{1}\\A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z = D_{2}\\A_{3}x + B_{3}y + C_{3}z = D_{3}\end{cases}$，其係數行列式$\Delta=\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}$。
此方程組中$\Delta=\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&c&3\\3&-3&c\end{vmatrix}=c^{2}-3c - 10$，令$\Delta = 0$，即$(c - 5)(c + 2)=0$ ，解得$c = 5$或$c=-2$ 。
當$c=-2$時，方程組中前兩個方程相加得$3x + z = 1$，第三個方程為$3x - 3y - 2z = 0$，此時方程組無解，答案為(2)。報錯
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111分科數學甲試題-06

假設2階方陣$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$所代表的線性變換將坐標平面上三點$O(0,0)$ 、$A(1,0)$ 、$B(0,1)$分別映射到$O(0,0)$ ，$A'(3,\sqrt{3})$ ，$B'(-\sqrt{3},3)$ ，並將與原點距離為1的點$C(x,y)$映射到點$C'(x’,y’)$ 。試選出正確的選項。(1)行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6$(2)$\overline{OC’}=2\sqrt{3}$(3)$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OC’}$的夾角為$60^{\circ}$(4)有可能$y = y’$(5)若$x < y$則$x’ < y’$

[多選]

答案

由線性變換性質，$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}$得$a = 3$，$c=\sqrt{3}$；$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}$得$b=-\sqrt{3}$，$d = 3$。行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12$，(1)錯誤。$\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}$，$\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}$，(2)正確。$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3$，$\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，夾角為$30^{\circ}$，(3)錯誤。令$y = y'$，即$-\sqrt{3}x + 3y = y$，$x=\frac{2y}{\sqrt{3}}$，有可能成立，(4)正確。取$x = 0$，$y = 1$，$x'=-\sqrt{3}$，$y' = 3$，此時$x < y$，但$x' < y'$不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。報錯
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111學測數學B試題-05

設矩陣 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $，若 $ A^7 – 3A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，則 $ a + b + c + d $ 之值為下列哪一個選項？
(1) -8
(2) -5
(3) 5
(4) 8
(5) 10

[單選]

答案

\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\]
那麼我們重新計算。

---

**1. 計算 $A^2$**
\[
A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1+1 & 1-1 \\ 1-1 & 1+1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
= 2I
\]

---

**2. 利用 $A^2 = 2I$ 化簡 $A^7$**
\[
A^2 = 2I
\]
\[
A^4 = (A^2)^2 = (2I)^2 = 4I
\]
\[
A^6 = A^4 A^2 = (4I)(2I) = 8I
\]
\[
A^7 = A^6 \cdot A = (8I) A = 8A
\]

---

**3. 計算 $A^7 - 3A$**
\[
A^7 - 3A = 8A - 3A = 5A
\]
\[
5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & -5 \end{bmatrix}
\]

---

**4. 求 $a+b+c+d$**
\[
a=5, \quad b=5, \quad c=5, \quad d=-5
\]
\[
a+b+c+d = 5+5+5+(-5) = 10
\]

---

**答案：** (5) 10

---

所以正確的矩陣應是 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，才會得到選項中的 10。報錯
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