〈角度計算〉彙整頁面

104學測數學考科-19

在空間中,一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 $\theta$ 的正切值 $\tan\theta$ 。若一金字塔（底部為一正方形,四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為 $\frac{2}{5}$ ,如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 ________。（化為最簡分數）

[選填]

答案

\[
\tan\theta = \frac{OH}{EH} = \frac{2}{5},
\]
令 $EH=5$，$OH=2$，則 $OE=\sqrt{29}$，$BE=5$。

得
\[
OB = OA = OC = \sqrt{54},\quad AC=10\sqrt{2}.
\]

設 $AG \perp OB$，$CG \perp OB$，則 $\angle AGC$ 即為二面角。

在 $\triangle AOB$ 中，
\[
\cos\angle AOB = \frac{54+54-200}{2\times54} = \frac{2}{27}.
\]
又
\[
\frac{OG}{OA} = \frac{2}{27} \Rightarrow OG = \frac{2\sqrt{54}}{27}.
\]

於是
\[
AG^2 = OA^2 - OG^2 = 54 - \frac{8}{27} = \frac{1450}{27}.
\]

代入 $\triangle AGC$ 的餘弦定理：
\[
|\cos\angle AGC| = \left| \frac{\frac{2900}{27} - 200}{\frac{1450}{27}} \right|
= \left| \frac{-\frac{2500}{27}}{\frac{1450}{27}} \right|
= \frac{25}{29}.
\]

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如圖（此為示意圖），在$\triangle ABC$中，$\overline{AD}$交$\overline{BC}$於$D$點，$\overline{BE}$交$\overline{AD}$於$E$點，且$\angle ACB = 30^\circ$，$\angle EDB = 60^\circ$，$\angle AEB = 120^\circ$。若$\overline{CD} = 15$，$\overline{ED} = 7$，則$\overline{AB} = $ __________。

[選填題]

答案

由角度關係可推$\triangle BDE$為正三角形，$\overline{BE}=7$；$\triangle ACD$中，$\angle ACD=30^\circ$，$\angle ADC=120^\circ$，推得$\overline{AD}=15$，故$\overline{AE}=8$。在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=120^\circ$，由餘弦定理：$\overline{AB}^2 = 8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cdot\cos120^\circ = 64+49+56=169$，故$\overline{AB}=13$。答案：13

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114學測數學A考科_20

18-20 題為題組
20. 設 $L$ 為過點 $P$ 且與直線 $OQ$ 平行的直線，點 $S$ 為 $L$ 和直線 $OR$ 的交點，試求 $\angle OSP$，並求點 $S$ 的坐標。（非選擇題，6分）

[題組題]

答案

$L$ 過 $P(1,1)$ 且平行 $OQ$（斜率 0），故 $L: y=1$。
直線 $OR$ 斜率為 $\sqrt{3}$，方程為 $y=\sqrt{3}x$。
聯立解得 $S(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$，$\angle OSP = 60^\circ$。

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113分科測驗數學甲試題06

坐標空間中,考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)$ 的兩向量 $\vec{u} $、$\vec{v} $ 。試選出正確的選項。
(1) $\vec{u} $ 與 $\vec{v} $ 的夾角 $ \theta $（其中 $ 0\leq\theta\leq\pi $,$ \pi $ 為圓周率）大於 $ \frac{\pi}{4}$
(2) $\vec{u} $ 可能為 $(1,0,−1)$
(3) $\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}$
(4) 若已知 $\vec{v} $,則 $\vec{u} $ 可以被唯一決定
(5) 若已知 $\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert$,則 $\vert\vec{v}\vert$ 可以被唯一決定

[多選]

答案

(1) $\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)$,$\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)$,$\frac{(a)}{(b)}$可得 $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1$,所以 $ \theta\lt\frac{\pi}{4}$,(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。

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