類比推理
114分科測驗數學乙考科試卷-11
某洗衣機的行程必須從一、二、三、四、五共 5 種不同衣料擇一，搭配甲、乙、丙、丁共 4 種不同模式擇一，另有 A、B、C 共 3 種附加功能，每種附加功能可以自由選擇是否開啟，但是「第一種衣料」不可以與附加功能「A」同時使用。
例如「第二種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個可以的行程；但「第一種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個不可以的行程。
根據上述，此洗衣機共有_____個可以的行 程 。
答案
---
**解題：**
1. **先算沒有禁止規則的總數**
- 衣料選擇：5 種
- 模式選擇：4 種
- 附加功能 A、B、C 各可開或不開 → \(2^3 = 8\) 種
總數： \(5 \times 4 \times 8 = 160\) 種行程。
2. **減去「第一種衣料 + 附加功能 A 開啟」的非法情形**
- 衣料固定為第一種（1 種）
- 模式有 4 種
- 附加功能 A 必須開（固定），B 與 C 可開可不開 → \(2^2 = 4\) 種
非法數： \(1 \times 4 \times 4 = 16\) 種。
3. **合法行程數**
\(160 - 16 = 144\) 種。
---
**答案：**
\[
\boxed{144}
\] 報錯
ChatGPT DeepSeek
04 – 114學測數學b試題17
某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的\(LED\)燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮\(3\)秒, 再暗\(1\)秒, 再亮\(2\)秒」；
綠色：「亮\(6\)秒, 再暗\(2\)秒」；
藍色：「亮\(k\)秒,再暗 \((15 – k)\) 秒」,其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環,面板上都一直有燈亮著,並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略,則\(k\)的最小值為 \(\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}\)。
答案
- 紅燈週期 6 秒：亮 3 秒 → 暗 1 秒 → 亮 2 秒 ⇒ **僅在第 3～4 秒暗**
- 綠燈週期 8 秒：亮 6 秒 → 暗 2 秒 ⇒ **在第 6～8 秒暗**
- 藍燈週期 15 秒：亮 \(k\) 秒 → 暗 \(15 - k\) 秒 ⇒ **在第 \(k\)～15 秒暗**
要求：**任何時刻至少一燈亮** → **三燈不能同時暗**
---
### 關鍵：找出紅與綠「同時暗」的時刻，再讓藍燈在那些時刻「亮」。
紅暗：\( t \equiv 3 \pmod{6} \)（即 \( t = 3,9,15,21,27,33,\dots \)）
綠暗：\( t \equiv 6,7 \pmod{8} \)（即 \( t = 6,7,14,15,22,23,30,31,\dots \)）
找共同時刻（在 0～120 秒內，LCM(6,8,15)=120）：
- \( t = 15 \)：紅暗（15≡3 mod 6），綠暗（15≡7 mod 8）✅
- \( t = 39 \)：39≡3 mod 6，39≡7 mod 8 ✅
- \( t = 63 \)：63≡3 mod 6，63≡7 mod 8 ✅
- \( t = 87 \)：87≡3 mod 6，87≡7 mod 8 ✅
- \( t = 111 \)：111≡3 mod 6，111≡7 mod 8 ✅
這些是紅綠同暗的時刻：
**15, 39, 63, 87, 111**
藍燈在時刻 \( t \) 亮 ⇔ \( t \bmod 15 < k \)
所以，要讓上述每個 \( t \) 滿足：
\[
t \bmod 15 < k
\]
計算：
- \( 15 \bmod 15 = 0 \)
- \( 39 \bmod 15 = 9 \)
- \( 63 \bmod 15 = 3 \)
- \( 87 \bmod 15 = 12 \)
- \( 111 \bmod 15 = 6 \)
→ 藍燈需在餘數 **0, 3, 6, 9, 12** 時亮
即：這些餘數都必須 **< k**
最大餘數為 **12**，故需：
\[
k > 12 \quad \Rightarrow \quad k \geq 13
\]
最小正整數 \( k = 13 \)
### ✅ 正確答案：\( \dfrac{13}{1} \)
紅綠同暗時刻模 15 的餘數為：0, 3, 6, 9, 12
藍燈需在這些時刻亮 ⇒ \( k > 12 \) ⇒ 最小 \( k = 13 \)
**答：** \( \boxed{\dfrac{13}{1}} \) 報錯
ChatGPT DeepSeek
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0p051541901400830673/04-114%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
