〈體積表面積計算〉彙整頁面

101學測數學考科-02

將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體,如下圖所示,其中第 1 層（最下層）有 10 塊,第 2 層有 9 塊,…,依此類推。當堆疊完 10 層時,該階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？

(1) 75 平方公分
(2) 90 平方公分
(3) 110 平方公分
(4) 130 平方公分
(5) 150 平方公分

[單選]

答案

\[
2(1+2+3+\cdots+10) + 10 + 10 + 10 \times 2
= 2 \times \frac{10 \times (10+1)}{2} + 40
= 2 \times \frac{10 \times 11}{2} + 40
= 2 \times 55 + 40
= 110 + 40
= 150
\](5)

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104學測數學考科-18

有一底面為正方形的四角錐,其展開圖如下圖所示,其中兩側面的三角形邊長為3,4,5 ,則此角錐的體積為 __________。（化為最簡根式）

[選填]

答案

由側面三角形邊長3、4、5可知是直角三角形,由此可得底面正方形邊長為4。利用勾股定理求四角錐的高 \(h=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}\) 。再根據四角錐體積公式 \(V=\frac{1}{3}S_{底}h\) ,底面正方形面積 \(S_{底}=4×4 = 16\) ,所以體積 \(V=\frac{1}{3}×16×\sqrt{5}=\frac{16\sqrt{5}}{3}\) 。

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106學測數學考科–04

在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 \(A, C\) 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 \(B, D\) 前進，且在 1 秒後分別同時到達 \(B, D\)。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。

(1) 兩質點的距離固定不變
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在 \(\frac{1}{2}\) 秒時兩質點的距離最小
(5) 在 \(\frac{1}{2}\) 秒時兩質點的距離最大。

[單選題]

答案

設 \(t\) 秒時，質點位置 \(P(1, t, 0)\)、\(Q(0, 1, t)\)。距離 \(PQ = \sqrt{1 + (t-1)^2 + t^2} = \sqrt{2t^2 - 2t + 2} = \sqrt{2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}}\)。當 \(t=\frac{1}{2}\) 時有最小值。故選(4)。答案：(4)

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108學測數學考科-F

坐標空間中，考慮有一個頂點在平面\(z = 0\)上，且有另一個頂點在平面\(z = 6\)上的正立方體，則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 __________（化成最簡根式）

[選填題]

答案

正立方體空間對角線長為\(\sqrt{3}a\)，此對角線需跨過兩平面距離6，故\(\sqrt{3}a \geq 6 \Rightarrow a \geq \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)。最小邊長為\(2\sqrt{3}\)。答案：\(2\sqrt{3}\)

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